Решите уравнение: (x/(x-1))^2 + (x/(x+1))^2 = 10/9

Мар 13, 2017 // By: // No Comment

Решите уравнение:
(x/(x-1))^2 + (x/(x+1))^2 = 10/9

  • Проверенные ответы содержат наджную, заслуживающую доверия информацию, оценнную командой экспертов. На «Знаниях» вы найдте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы — это лучшие из лучших.

(frac{x}{x-1})^2+(frac{x}{x+1})^2=frac{10}{9}

frac{x^2(x+1)^2+x^2(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=frac{10}{9}

9x^2(x^2+2x+1+x^2-2x+1)=10(x-1)^2(x+1)^2

9x^2(2x^2+2)=10(x^2-1)^2

18x^4+18x^2=10x^4-20x^2+10

8x^4+38x^2-10=0

Произведм замену: x^2=t

8t^2+38t-10=0

t^2+4,75t-1,25=0

по теореме Виета:

t_1=-5;t_2=0,25

Сделаем обратную замену:

x^2=-5

нет корней

x^2=0,25

x_1=-0,5;x_2=0,5

Ответ: -0,5; 0,5.

  • Проверенные ответы содержат наджную, заслуживающую доверия информацию, оценнную командой экспертов. На «Знаниях» вы найдте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы — это лучшие из лучших.
  • (frac{x}{x-1})^{2}+(frac{x}{x+1})^{2}=frac{10}{9}

    frac{x^{2}}{(x-1)^{2}}+frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}=frac{10}{9}

    Отметим ОДЗ.

    left { {{(x-1)^{2}neq0} atop {(x+1)^{2}neq0}} right

    left { {{xneq1} atop {xneq-1}} right

    frac{x^{2}}{x^{2}-2x+1}+frac{x^{2}}{x^{2}+2x+1}=frac{10}{9} /9(x^{2}-2x+1)(x^{2}+2x+1)

    9x^{2}(x^{2}+2x+1)+9x^{2}(x^{2}-2x+1)=10(x^{2}+2x+1)(x^{2}-2x+1)

    9x^{4}+18x^{3}+9x^{2}+9x^{4}-18x^{3}+9x^{2}=10(x^{4}-2x^{3}+x^{2}+2x^{3}-4x^{2}+2x+x^{2}-2x+1)

    группируем

    (9x^{4}+9x^{4})+(18x^{3}-18x^{3})+(9x^{2}+9x^{2})=10(x^{4}+(-2x^{3}+2x^{3})+(x^{2}-4x^{2}+x^{2})+(2x-2x)+1)

    18x^{4}+18x^{2}=10(x^{4}-2x^{2}+1)

    18x^{4}+18x^{2}=10x^{4}-20x^{2}+10

    перенесм вс в левую часть и приравняем уравнение к нулю, при этом не забываем сменить знаки на противоположные

    18x^{4}+18x^{2}-10x^{4}+20x^{2}-10=0

    группируем

    (18x^{4}-10x^{4})+(18x^{2}+20x^{2})-10=0

    8x^{4}+38x^{2}-10=0

    Произведм замену переменных.

    Пустьy=x^{2}

    В результате замены переменных получаем вспомогательное уравнение.

    8y^{2}+38y-10=0

    Cчитаем дискриминант:

    D=38^{2}-4cdot8cdot(-10)=1444+320=1764

    Дискриминант положительный

    sqrt{D}=42

    Уравнение имеет два различных корня:

    y_{1}=frac{-38+42}{2cdot8}=frac{4}{16}=frac{1}{4}=0,25

    y_{2}=frac{-38-42}{2cdot8}=frac{-80}{16}=-5

    Теперь решение исходного уравнения разбивается на отдельные случаи.

    Случай 1

    x^{2}=0,25

    x_{1}=sqrt{0,25}=0,5

    x_{2}=-sqrt{0,25}=-0,5

    Случай 2

    x^{2}=-5

    нет корней

    Произведм проверку ОДЗ.

    left { {{0,5neq1} atop {0,5neq-1}} right

    удовлетворяет ОДЗ

    left { {{-0,5neq1} atop {-0,5neq-1}} right

    удовлетворяет ОДЗ

    Ответ:x_{1}=0,5;x_{2}=-0,5

    Leave a Comment

    Your email address will not be published.